Tilavuus integraalilla
Poikkileikkausmenetelmä ei edellytä pyörähdystä. Kappaleen leikkaus voi olla esimerkiksi neliö, kolmio tai puoliympyrä. Ratkaisevaa on, että leikkauksen pinta-ala voidaan esittää paikan funktiona.
Tarkastellaan neliöpohjaista pyramidia, jonka pohjan sivu on $a$ ja korkeus $h$. Mitataan paikkaa $x$ pohjasta kohti huippua. Korkeudella $x$ oleva poikkileikkaus on neliö, jonka sivun pituus $s(x)$ pienenee arvosta $a$ arvoon $0$.
Esimerkki: Johda neliöpohjaisen pyramidin tilavuuden kaava poikkileikkausten avulla.
Ratkaisu: Pyramidin tasoleikkauksessa syntyvät kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Vastinsivujen suhteesta
\[ \frac{s(x)}{h - x} = \frac{a}{h} \]saadaan
\[ s(x) = \frac{a}{h}(h - x). \]Kaava antaa tarkistuspisteet $s(0) = a$ ja $s(h) = 0$.
Poikkileikkaus on neliö, joten
\[ A(x) = s(x)^2 = \frac{a^2}{h^2}(h - x)^2. \]Tilavuus on näin
\[ V = \frac{a^2}{h^2}\int_0^h (h-x)^2\,dx = \frac{a^2}{h^2}\left[-\frac{(h-x)^3}{3}\right]_0^h = \frac{a^2 h}{3}. \]Pohjan pinta-ala on $A_{\text{pohja}} = a^2$, joten tulos voidaan kirjoittaa tuttuun muotoon
\[ V = \frac{1}{3} A_{\text{pohja}} h. \]Sivun pituus $s(x)$ muuttuu lineaarisesti, mutta poikkileikkauksen pinta-ala $A(x) = s(x)^2$ muuttuu toisen asteen funktiona. Näitä kahta suuretta ei pidä sekoittaa. Myöskään piirroksen ei oleteta olevan mittakaavassa.