Tilavuus integraalilla
Kun pyörähdysakseli on $y$-akseli, kiekot valitaan tavallisesti kohtisuoraan $y$-akselia vastaan. Tällöin kiekon paikka määräytyy muuttujan $y$ avulla ja paksuus on $dy$. Käyrä täytyy siis esittää muodossa $x = g(y)$.
Pyörähdys $y$-akselin ympäri: Jos säde kohdassa $y$ on etäisyys $r(y) = |g(y)|$ ja $c \le y \le d$, kiekkomenetelmä antaa tilavuuden \[ V = \pi \int_c^d g(y)^2\,dy. \] Muuttuja ja integroimisrajat luetaan pyörähdysakselin suunnasta.
Muuttujan valinta ei ole pelkkä merkintäkysymys. $x$-akselin ympäri pyöritettäessä käytetään pystysuoria kiekkoja ja integroidaan tavallisesti muuttujan $x$ suhteen. $y$-akselin ympäri pyöritettäessä käytetään vaakasuoria kiekkoja ja integroidaan muuttujan $y$ suhteen.
Esimerkki: Käyrän $x = \frac{y^3}{8}$ ja $y$-akselin välinen alue välillä $-2 \le y \le 1$ pyörähtää $y$-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus.
Ratkaisu: Säde on $r(y) = |x| = \left|\frac{y^3}{8}\right|$. Säteen neliö on
\[ r(y)^2 = \left(\frac{y^3}{8}\right)^2 = \frac{y^6}{64}, \]joten sama poikkileikkauskaava toimii nollakohdan molemmilla puolilla.
Tilavuus on
\[ V = \frac{\pi}{64}\int_{-2}^{1} y^6\,dy = \frac{\pi}{64}\left[\frac{y^7}{7}\right]_{-2}^{1} = \frac{\pi}{448}\left(1^7 - (-2)^7\right) = \frac{129\pi}{448}. \]Tulos on $\frac{129\pi}{448}$ tilavuusyksikköä.
Kohdassa $y = 0$ säde on $0$, joten kappaleen kaksi osaa kohtaavat yhdessä pisteessä. Tämä ei vaadi integraalin jakamista, koska funktio $y^6$ on jatkuva koko välillä $[-2, 1]$.